Nella precedente pagina abbiamo accennato al fatto che i dettagli di oggetti frattali, anche nel caso in cui non siano una copia esatta del tutto, sono “simili, cioè con lo stesso grado di complessità”. Per determinare tale grado di complessità si usa il numero associato alla dimensione di oggetti frattali.

Nel caso di alcune famiglie di figure, come punti, linee, superfici e solidi, associare una dimensione all’oggetto non è un problema: è intuitivo, infatti, che un punto abbia dimensione   D = 0, cioè nessuna dimensione, una linea D = 1 (la lunghezza), una superficie (es. un quadrato)   D = 2 (altezza e larghezza), un solido (es. un cubo) D = 3 (altezza, larghezza e profondità).

Per comprendere meglio come si attribuisce una dimensione, consideriamo 3 figure: un segmento, un quadrato e un cubo e dividiamole in un numero prefissato N di parti uguali fra loro. Consideriamo per comodità N = 3

Se dividiamo un segmento in 3 parti uguali, ognuna di esse può essere riportata alla grandezza dell’intero segmento con un ingrandimento della scala di un fattore 3.

 Dividiamo ora un quadrato in 9 quadratini: ora ognuno di essi, per essere riportato alle dimensioni dell’intera figura necessita di un ingrandimento della scala non di un fattore 9, ma di un fattore 3 (infatti l’altezza e la base sono 1/3 di quelle del quadrato di partenza).

Infine, se dividiamo un cubo in 27 cubetti, per fare assumere ad uno di essi le dimensioni del cubo di partenza bisogna applicare un ingrandimento della scala di un fattore 3 (si triplicano altezza, larghezza e profondità).

Una delle formule (elaborata dai due matematici Hausdorff e Besicovitch) usata per determinare la dimensione D di una figura geometrica è la seguente:

D = logaritmo (numero di parti)/logaritmo (fattore di ingrandimento) = Log N/Log M

Applichiamo la formula al segmento: il numero di parti N in cui è stata diviso e il fattore di ingrandimento M sono entrambi pari a 3, dunque

D = Log 3/Log 3 = 1

Allo stesso modo per il quadrato:

D = Log 9/Log 3 = 2 Log 3/Log 3 = 2

Per il cubo, infine, si ottiene:

D = Log 27/Log 3 = 3 Log 3/Log 3 = 3

Siamo quindi giunti ad affermare che il segmento (e, più in generale, la linea), ha dimensione 1, che il quadrato (e, in generale, una superficie) ha dimensione 2 e che il cubo (e, in generale, un solido) ha dimensione 3.

Applichiamo ora la formula agli oggetti frattali descritti in precedenza:

- nel triangolo di Sierpinski ad ogni passaggio dal triangolo originale se ne ottengono 3 (lo si divide in 4 triangoli, ma uno viene asportato), dunque N = 3, mentre il fattore di ingrandimento M necessario a riportare ognuno dei 3 triangoli alla grandezza dell’originale è 2; dunque:

D = Log 3/Log 2 _≈ 1,5849...         

Il valore trovato non è assolutamente intero, ma compreso tra 1 e 2, dunque il triangolo di Sierpinski è "a metà strada tra una linea e una superficie", non a caso la sua area tende a zero.

- nel merletto di Von Koch, da ogni segmento ad ogni passaggio si ottengono 4 segmenti che possono essere riportati alla grandezza del segmento originale con un fattore M = 3; dunque:

D = Log 4/Log 3 _≈ 1,262...

- nell’insieme di Cantor, ad ogni passo dell’iterazione da ogni segmento se ne ottengono 2, ma l’ingrandimento necessario per riportarli alla grandezza dell’originale è 3, dunque:

D = log 2/ log 3 _≈ 0,6039....

Questo dato suggerisce che l’insieme di Cantor è "a metà strada tra un punto e una linea", non a caso non è altro che un insieme di punti

Esaminate le due caratteristiche principali dei frattali, possiamo iniziare l'esplorazione dell'oggetto frattale più famoso, l'insieme di Mandelbrot.