Consideriamo la successione di numeri complessi:

z_n+1 = (z_n)² + c                  

per n = 0, 1, 2, 3,… e con z₀ = 0  e c = a + bi (cioè per ogni punto del piano C)

per   n = 0   z₀ = 0

n = 1   z₁ = c

n = 2   z₂ = c²+c

n = 3   z₃ = (c²+c)²+c

n = 4   z₄ = [(c²+c)²+c]²+c

....

Dunque, sostituendo c = a + bi

per   n = 0   z₀ = 0

n = 1   z₁ = a+ib

n = 2   z₂ = (a+ib)²+a+ib

n = 3   z₃ = [(a+ib)²+a+ib]²+a+ib

…

Eseguendo all’infinito questa procedura otteniamo una successione di numeri complessi in modo analogo alla successione di forme geometriche ottenute tramite iterazioni; anche in questo caso, infatti, si considera un valore iniziale c a cui si applica un funzione e il cui risultato viene considerato come nuovo valore iniziale, e così all’infinito.

Possiamo schematizzare quanto detto in questo modo:

Secondo la teoria delle iterazioni dei numeri complessi, “le iterazioni porteranno le dimensioni di z all'infinito, se e solo se in qualche stadio del processo z  raggiunge un modulo maggiore o uguale a 2.”Dunque se:

                      |z_n| > 2     la successione è divergente

                      |z_n| < 2     la successione è convergente

La definizione che abbiamo dato è imprecisa perché si parla di un “qualche stadio” del processo iterativo, dunque un valore z_n potrebbe avere una dimensione |z| minore di 2 al 100-esimo passaggio e superare tale valore al 101-esimo. Un numero massimo per ottenere la precisione assoluta non esiste anche se molti autori propongono un numero limite di 1000 iterazioni (è chiaro che, comunque, il numero non può essere infinito, dato che disponiamo di un tempo finito per disegnare l'insieme).

A questo punto possiamo enunciare la definizione dell’insieme di Mandelbrot data da Adrien Douady:

“L’insieme di Mandelbrot è l’insieme dei valori complessi c tali che, partendo dal valore iniziale z₀=0, la successione z_n:  z_n = z_n-1²+c si mantiene limitata (cioè se |z| < 2): in questo caso il punto associato nel piano dei numeri complessi è colorato in nero.”

Se |z| supera 2, allora il punto andrà molto rapidamente verso l'infinito e ciò vuol dire che non appartiene all'insieme M. A questo tipo di punti viene assegnato un colore basandosi su quante iterazioni occorrono prima che |z| > 2 (basandosi in sostanza sulla velocità con cui la successione z_n diverge). Ad esempio, si assegna arbitrariamente il colore rosso ai punti per i quali |z| eccede il valore 2 dopo 10 iterazioni, giallo per i punti per i quali |z| è maggiore di 2 dopo 100 iterazioni… Eccetto per il colore nero, che rappresenta l’insieme di Mandelbrot vero e proprio, per i punti esterni ad esso i metodi di colorazione sono innumerevoli: solo tonalità di blu, solo tonalità di rosso, tutti i colori, …

A lato l'animazione mostra l'insieme di Mandelbrot a successive iterazioni: si parte da 1 iterazione (tutti i punti del piano aventi |z| < 2, cioè tutti i punti del cerchio avente centro nell'origine del piano e raggio r = 2). Come si nota, man mano che il numero di iterazioni aumenta, compaiono nuovi dettagli. Per ottenere una buona qualità dell'immagine, occorrono almeno 100-200 iterazioni, valore che aumenta nel caso di ingrandimenti di particolari dell'insieme. 

Esplora l'insieme di Mandelbrot