Nella storia della matematica, soprattutto all'inizio del Ventesimo secolo, sono nate spesso figure geometriche che non rispettavano i canoni classici di armonia e regolarità, caratteristiche che si riteneva fossero necessarie agli oggetti di studio scientifico; è prova di tale mentalità l’affermazione del matematico Hermite a proposito delle funzioni continue di Rienmann (che non ammettono derivate in alcun punto) o della curva di Peano (che, pur essendo unidimensionale, riempie il piano): “una piaga lamentevole […] da cui distolgo lo sguardo con orrore e disgusto”. Di questo “museo degli orrori” della matematica fanno parte alcuni oggetti che Mandelbrot riesumò inquadrandoli in un quadro coerente, la “geometria dei frattali”.

Tutti gli enti geometrici in questione sono ottenuti tramite iterazioni, cioè applicando più volte una certa funzione ad un determinato valore iniziale.

Ad esempio, se la funzione in questione è l’elevamento a quadrato, e x_o = 2,       x₁ = f(x_o) = 4,         x₂ = f(x₁) = 16, e così via.

L’iterazione consiste cioè nell’applicare una determinata funzione ad un valore di partenza x_o; il risultato ottenuto (l’immagine), indicato con x₁, viene considerato come il nuovo valore x_o da assegnare alla funzione. Il processo di iterazione può essere sia proseguito all’infinito (come nel caso delle curve che descriveremo in seguito), sia interrompersi dopo un numero di iterazioni prefissato (è il caso della costruzione dell’insieme di Mandelbrot).

Le iterazioni possono essere applicate sia a valori numerici (ad esempio l’elevazione a quadrato descritta sopra), sia ad enti geometrici quali un punto, una linea (polvere di Cantor), un triangolo (triangolo di Sierpinski e fiocco di neve di Von Koch), un quadrato, un cubo,…

Le curve che Mandelbrot studiò per giungere a formulare la sua teoria frattale sono tutte ottenute tramite iterazioni applicate ad enti geometrici. Tali curve possono essere considerate frattali ante litteram, in quanto possiedono tutte le caratteristiche tipiche dei frattali (autosomiglianza e dimensione frattale) su cui torneremo in seguito.