frattali
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I numeri complessi A differenza degli oggetti frattali visti finora (che sono disegnati nel piano o nello spazio), l'insieme che prende il nome dal padre della geometria frattale è descritto nel piano dei numeri complessi ed è quindi necessaria una breve descrizione di tale campo. I numeri complessi sono numeri del tipo c = a + bi, dove a e b sono numeri reali e i è l'unità immaginaria. I numeri immaginari sono i numeri soluzioni di equazioni algebriche del tipo x2 = -1: tale equazione non ha soluzioni nell’insieme R dei numeri reali, ma nell’insieme C dei numeri complessi, cioè numeri in cui compaiono anche valori immaginari, indicati con i.. Per definizione i2= -1 (cioè √-1 = i ). Nel campo C dei numeri complessi valgono proprietà analoghe a quelle dei numeri reali anche se il prodotto è definito in modo diverso; ad esempio 2i – 3i = -i; i*i = i2 = -1. A differenza del campo dei numeri reali R, in C è così possibile risolvere ogni equazione algebrica a coefficienti reali, perciò si dice che C è un campo algebricamente chiuso. I
numeri complessi sono numeri composti da una parte reale (a) e da una parte
immaginaria (b), ad esempio 2 + 3i; tale numero non può essere
ricondotto ad un numero reale a meno che b non sia uguale a
zero.
I numeri complessi possono essere rappresentati da punti sul piano dei numeri complessi detto anche piano di Gauss; tale piano è un piano cartesiano dove si pone per definizione il punto di coordinate (0,1) = i. Ogni punto c del piano può quindi essere rappresentato sia da una coppia di coordinate (x,y), sia dalla scrittura c = x+iy. Ad esempio, il punto P in figura è individuato da (3,2) o, in modo equivalente, da 3+2i. Il modulo di un numero complesso Il modulo di un numero complesso z = a+ib può essere definito come la distanza del punto P (che individua z nel piano di Gauss) dall'origine del piano complesso e si ottiene applicando il teorema di Pitagora: modulo di z =
|z| = √(32+
22)=
√13
= 3,605... (Ogni elemento di C diverso dallo zero può essere rappresentato univocamente in relazione al suo modulo (distanza dall'origine del piano) e all'angolo che la semiretta OP forma con la semiretta positiva della parte reale). Il modulo
di z è importante perché
osservando il comportamento di tale grandezza possiamo decidere se il punto in
questione appartiene o no ad una certa area del piano complesso. Alcune categorie di funzioni,
dette mappe, possono essere rappresentate nel piano dei numeri complessi.
Un metodo per rappresentare
graficamente queste funzioni è detto metodo dell’immagine spaziale. Si
divide lo spazio visibile in pixel (come in uno schermo) e si assegnano le
coordinate del tipo a + bi ad ognuno di essi. Si applica poi la funzione al
modulo |z| di ognuno di tali punti e si colorano i punti di colori diversi
in base al loro comportamento, cioè in base a che immagine si ottiene
applicando la funzione. Nella prossima pagina è presentata la costruzione dell'insieme di Mandelbrot, che si basa sul metodo dell'immagine spaziale.
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