Uno degli enti geometrici ottenuti tramite un procedimento di iterazione è l’insieme che porta il nome del matematico Georg Cantor (1845-1918), che descrisse il seguente procedimento: “Dato un segmento, lo si divida in tre parti uguali e si asporti la parte centrale. Rimangono due segmenti: ad ognuno di essi si applichi lo stesso procedimento all’infinito.”

Dopo 5 iterazioni l’insieme di Cantor risulta essere così costruito:

Iterando il procedimento all’infinito, ciò che rimane è l’insieme di Cantor, detto anche “polvere di Cantor”. Ci si può chiedere, in effetti, se del segmento iniziale rimanga qualcosa oppure no, cioè se vengano cancellati o meno tutti i punti. Per rispondere a questa domanda, consideriamo l’insieme di Cantor definito su un segmento orientato di estremi 0 e 1, cioè costruiamo l’insieme a partire dall’intervallo 0 ≤ x ≤ 1.

Dall’intervallo iniziale rimuoviamo il segmento 1/3<x<2/3: è da notare che gli estremi (i punti 1/3 e 2/3) vengono lasciati nell’insieme. Ciò che rimane è una coppia di intervalli, ciascuno dei quali ha lunghezza pari ad un terzo dell’intervallo precedente. Continuando a procedere in questo modo, rimuoviamo gli intervalli 1/9<x<2/9 e 7/9<x<8/9. Rimangono ora quattro intervalli, ciascuno pari ad un nono della lunghezza dell’originale. Ad ogni passaggio, il numero degli intervalli ancora presenti (gli intervalli neri) raddoppia, mentre la loro lunghezza diventa un terzo di quella dell’intervallo creato nel passaggio precedente. Ad esempio, dopo 10 passaggi vi saranno 2¹⁰ intervalli di lunghezza (1/3)¹⁰, cioè 0,0000169…

Iterando il procedimento all’infinito, la lunghezza degli intervalli diviene nulla, cioè rimangono solo singoli punti. I punti ottenuti come degenerazione degli intervalli risultano essere infiniti. Tali punti esistono sicuramente, dato che gli estremi di ogni intervallo rimosso appartengono all’insieme di Cantor.  Fanno quindi parte dell’insieme i punti 0 e 1, 1/3 e 2/3, 1/9, 2/9, 7/9 e 8/9, ecc...

L’insieme di Cantor è inoltre “autosimilare”, cioè ogni parte contiene il tutto. Per verificarlo basta osservare l’intervallo 0 ≤ x ≤ 1/3. Se ingrandiamo questa parte dell’insieme di Cantor di un fattore 3, otteniamo una copia esatta dell’intero insieme. Lo stesso avviene se ingrandiamo di un fattore 3 l’intervallo 2/3 ≤ x ≤ 1 o di un fattore 9 l’intervallo 0 ≤ x ≤ 1/9. Possiamo quindi dire che ogni parte dell’insieme di Cantor, per quanto piccola, possiede tanti punti quanto il tutto (cioè è ugualmente densa) e che qualunque dettaglio, se ingrandito con un apposito fattore (dipendente dalle sue dimensioni), è una copia esatta del tutto.