Come l’insieme di Cantor, il triangolo di Sierpinski è generato da una successione infinita di rimozioni, iterando il procedimento:

“Dato un triangolo equilatero pieno, lo si divida in 4 triangoli equilateri e si rimuova il triangolo centrale rivolto verso il basso. Rimangono 3 triangoli: ad ognuno di essi si applichi lo stesso procedimento all’infinito”. Dopo 3 iterazioni, ecco come appare il triangolo:

È facile dimostrare che l’area dei triangoli rimasti tende a zero, infatti ad ogni iterazione è ¾ di quella del passaggio precedente. Quando il numero di iterazioni n tende a ∞, infatti, l’area totale (colorata in nero) tende a:

  (3/4)^k = 0

quindi ciò che rimane sono solo infiniti singoli punti. A destra è rappresentata una buona approssimazione (6 iterazioni) del triangolo di Sierpinski (in effetti, il triangolo vero  e proprio si ottiene iterando all’infinito il procedimento sopra descritto).

Si nota come anche in questo caso l’oggetto costruito sia autosimilare, cioè ogni parte contiene il tutto; infatti, se consideriamo uno dei tre triangoli ottenuti dopo la prima iterazione e lo ingrandiamo di un fattore 2, otteniamo nuovamente la figura di partenza. Potremmo anche andare oltre e ingrandire di un fattore 4 uno dei triangoli rimasti dopo il secondo passaggio di rimozioni e troveremmo ancora l’intero triangolo originale. Tutto ciò accade indipendentemente dalla “profondità” alla quale si guarda il triangolo: il più piccolo triangolo ottenuto dopo n iterazioni darà, se ingrandito di un fattore 2ⁿ, una copia esatta dell’intero triangolo.

Un algoritmo simile a quello del triangolo di Sierpinski permette invece di costruire il “tappeto di Sierpinski":

Se un analogo procedimento viene applicato ad una forma solida, in particolare ad un cubo (effettuando una serie di infinite rimozioni di cubi), si ottiene un oggetto stranissimo, detto “spugna di Menger”. L’area della superficie della spugna tende all’infinito, mentre il volume dello spazio da essa delimitata tende a zero. Questa sorta di paradosso geometrico è uno dei motivi per cui figure di questo tipo sono state per lungo tempo ignorate o oggetto di aspre critiche da parte di molti matematici.

Una galleria di figure piane e solide costruite con questi criteri si può trovare all'indirizzo (in francese):

http://www.mathcurve.com/fractals/sierpinski/sierpinski.shtml