Il matematico svedese Helge Von Koch (1870/1924) descrisse nel 1904 una curva generata dalla seguente iterazione: “Dato un segmento di lunghezza unitaria, lo si divida in tre parti e si sostituisca quella centrale con due segmenti uguali a quello eliminato. Otteniamo quattro segmenti: su ognuno di essi si applichi lo stesso procedimento all’infinito.”

 Ecco come appare il “merletto di Von Koch” dopo 10 iterazioni:

Se si applica il procedimento sopra descritto invece che ad un segmento ai lati di un triangolo equilatero di lunghezza unitaria, si ottiene una struttura detta “fiocco di neve di Von Koch”, che dopo 9 iterazioni si presenta così:

Il merletto di Von Koch è chiaramente autosimilare: per verificarlo basta considerare una delle 4 parti ottenute dopo la prima iterazione e ingrandirla per un fattores3  (e, in generale, ingrandire di un fattore 3ⁿ la più piccola parte di spezzata ottenuta dopo l’ennesima iterazione).

Il fiocco di neve di Von Koch, invece, non può essere considerato autosimilare (nel senso stretto del termine) infatti se ingrandiamo, ad esempio, uno dei 6 lati della stella ottenuta dopo la prima iterazione, otteniamo una copia del merletto di Von Koch e non dell’intero fiocco di neve, di cui il merletto rappresenta solo la terza parte: il fiocco può essere infatti costruito a partire da un triangolo equilatero in cui venga sostituito ad ogni lato un merletto.

Pur non essendo autosimilare nel senso stretto del termine, il fiocco si può ottenere come parte di una figura autosimilare: nella figura a destra, chiaramente autosimilare, si possono identificare infinite copie del fiocco di neve di Von Koch. La figura in questione è conosciuta come “esagono di Von Koch”.

Come la spugna di Menger, anche il fiocco di neve presenta un paradosso:  ha un’area finita ma un perimetro infinito. In altre parole, è possibile colorarne l’interno ma non è possibile sovrapporre al suo perimetro un filo di lunghezza finita.